Supuestos y modelos utilizados en EXAKT
La ventaja de CBM sobre TBM como estrategia de mantenimiento es que toma en cuenta tanto la edad del ítem así como su condición cambiante hasta el momento de la toma de decisión. Asumimos que el estado de salud del ítem se encuentra codificado dentro de indicadores de condición mensurables (lo cual es, obviamente, la premisa subyacente de CBM).
Los indicadores monitoreados del ítem pueden ser presentados como un vector de tiempo dependiente de variables aleatorias, Z(t).
Z(t) = (Z1(t), Z2(t), … , Zm(t)) (ecuación 1)
Cada variable en el vector contiene el valor de una determinada medición en ese momento. Nosotros consideramos a Z(t) como un “proceso” debido a que cambia con cada conjunto de lecturas de CBM adquiridas a intervalos regulares de t. Adicionalmente, es un proceso estocástico. Un proceso estocástico es ocasionalmente denominado un proceso aleatorio. A diferencia de un proceso determinístico, en lugar de tener solamente una “realidad” posible sobre la manera en la cual el proceso pueda evolucionar con el tiempo, en un proceso estocástico existe cierto grado de indeterminación acerca de su evolución futura. Esta incertidumbre está descrita mediante distribuciones de probabilidad. Existen muchas posibilidades respecto a qué dirección pueda tomar el proceso, pero algunas rutas son más probables que otras. Entonces, se considera que Z(t) es un “proceso estocástico m-dimensional de covariable”, observado a intervalos regulares de tiempo, t.
Dejemos que T, una variable aleatoria, represente el tiempo de falla del ítem. Una meta primaria de CBM es predecir T teniendo en cuenta la edad actual t y las mediciones actuales de Z(t). Para alcanzar esta meta deberemos desarrollar un modelo estadístico que combine el comportamiento estocástico de las lecturas de CBM de Z(t) con el modelo para la rata de riesgo como una función de la edad t y de las lecturas actuales de Z(t).
Dos modelos teóricos son de particular interés para nosotros para alcanzar este objetivo:
- El modelo proporcional de riesgos Cox (PHM) con covariables dependientes de tiempo para describir el comportamiento de falla, y
- El proceso no – homogéneo de tiempo de falla Markov para describir el comportamiento de evolución del proceso de covariables.
En el presente artículo les mostraremos de qué manera se pueden combinar estos dos modelos para los propósitos de predicción de CBM.
Modelo proporcional de riesgos con covariables dependientes de tiempo
En EXAKT la influencia de los indicadores de monitoreo de condición (CM) sobre el tiempo de falla es modelada utilizando un Modelo Proporcional de Riesgos (PHM). Propuesto inicialmente por Cox en 1973 (Cox D.R., Oakes D., 1984.), el PMH Cox y sus variantes se han convertido en una de las herramientas de mas amplio uso en el análisis estadístico de información acerca de tiempo de vida en las ciencias bio-médicas y en confiabilidad. El modelo específico usado en EXAKT es un PHM con covariables que dependen del tiempo y un riesgo de base Weibull. Está descrito por la función de riesgo
(eq. 2)
Donde ß> es el parámetro de forma, η>0 es el parámetro de escala, γ =( γ1,γ2,… γm,) es el vector coeficiente para el vector de la variable de monitoreo de condición (covariable). Los parámetros ß, η, and γ deberán ser estimados en la solución numérica.
Proceso de tiempo de falla de Markov
Las mediciones físicas de CBM de cada Zi(t) serán asignadas a clases o estados que hemos establecido y rotulado así: “nuevo”, “normal”, “advertencia” o “peligro”. Estas designaciones (que son práctica común en CBM) se constituyen en el espacio de estado del proceso estocástico Z(t). Como tal, el vector covariable Z(t) se puede diferenciar de manera razonable para reflejar, de forma significativa, cada uno de sus estados. Específicamente, diferenciamos el rango de cada covariable Zi(t) a un número finito de intervalos cada uno de los cuales posee un valor representativo. Este valor puede ser tomado como cualquier valor en el rango de un intervalo. EXAKT toma el punto medio de cada intervalo como el valor que representa el estado del indicador de condición.
Definir el proceso diferenciado de la covariable Z(t) as Z(d)(t) = (Z1(d)(t), Z2(d)(t), … , Zm(d)(t)).
de tal forma que el valor de cada Zi(d)(t) es igual al valor representativo del intervalo en el cual cae Zi(t).
Denotar todos los posibles valores (estados) de Z(d)(t) as R1(z), R2(z), …, Rn(z)
donde Ri(z) = (Ri1(z), Ri2(z), …, Rim(z)) es un valor representativo de la covariable Zj(d)(t).
Ri(z) representa el estado ith del proceso de covariable diferenciada Z(d)(t).
Predecimos posibles estados futuros del proceso diferenciado Z(d) (t), dotándolo de algún tipo de comportamiento probabilístico. Un proceso Markov diferenciado, no – homogenizado ha sido usado (Bogdanoff & Kozin, 1985; Kopnov & Kanajev, 1994; Pulkkinen, 1991) para modelar el comportamiento estocástico de variables de monitoreo de condición dependientes de tiempo relacionadas con la propagación de desgaste.
En EXAKT, se asume que Z(d)(t) respeta un modelo de tiempo de falla Markov no – homogéneo descrito por las probabilidades de transición
Lij(x,t)=P(T>t, Z(d)(t)= Rj(z)|T>x, Z(d)(x)= Ri(z)) (eq. 3)
donde:
x es la edad de trabajo actual,
t (t > x) es una futura edad de trabajo, y
i and j son los estados de las covariables en x y t respectivamente.
La anterior expresión para la probabilidad de transición del estado i al estado j se puede leer de la siguiente manera: Es la probabilidad de que el ítem sobreviva hasta t en cuyo momento, el estado de Z(d)(t) es j, dado que el ítem habrá sobrevivido hasta x cuando el estado anterior, Z(d)(x) era i. El comportamiento de transición puede entonces ser mostrado en una matriz de cadena de transición de probabilidad Markov, por ejemplo, la de la Table 1 en el Apéndice.
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